김민호 수학연구소 - SAT Math, IB Math, AP Calculus 전문 국제학교 내신
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왜 ‘i’가 필요한데?
상황을 한번 상상해봐. 네가 2차 방정식을 풀고 있는데, 어느 순간 마주친다? 음수가 나오는 이상한 방정식이 앞에 떡하니 서 있는 거지. 아무리 해도 음수에서 제곱해서 그 값을 만들 수가 없단 말이야. "이거 어떻게 풀지?" 하면서 머리를 긁적거리다가 "잠깐, 상상 속 숫자 하나 만들어보면 어때?"라는 생각이 번쩍 든 거야. 그게 바로 ‘i’의 탄생이야.
이 ‘i’는 제곱하면 음수가 되는 아주 독특한 성질을 가지고 있어. 그러니까, 실수 세계에서는 절대 풀 수 없는 문제를 해결해주는 비밀 병기랄까?
이 ‘i’라는 녀석은 마치 마술 같은 존재야. 상상 속 친구 같아 보이지만, 수학적으로 엄청난 힘을 발휘하지. 예를 들어서, 우리가 현실 세계에서 다루는 물리학, 전자기학, 그리고 신호 처리 같은 분야에서도 ‘i’는 빛을 발휘해. 음... 예를 들어볼까? 전자기파나 소리 같은 진동을 분석할 때, 이 상상 속 친구가 없으면 제대로 된 계산이 안 되는 거지. 현실에서 쓸모가 없다 생각했지? 아니야, 실생활에서 중요한 역할을 하고 있어.
이쯤 되면 ‘i’가 무슨 엄청난 과학자의 전유물 같아 보이겠지만, 그건 아니야. 우리도 잘 활용하면 아주 유용하게 쓸 수 있어. 상상 속에만 존재하는 줄 알았던 이 숫자가 실제로 얼마나 중요한지 깨닫는 순간, 넌 이미 고수가 되어 있는 거야.
그러니까 우리가 이 ‘i’랑 친해지려면 어떻게 해야 하냐? 일단 상상하는 법을 배워야 해. 그렇다고 막 무턱대고 환상의 나라로 들어가라는 건 아니고, 숫자라는 게 현실적이지 않은 상황에서도 어떻게 의미를 찾을 수 있는지를 생각해보는 거지.
예를 들어, 0으로 나눌 수 없다고 배웠잖아? 그건 맞아, 하지만 수학자들은 그런 제한을 넘어서기 위해 더 큰 수학적 개념들을 발명했어. 바로 그런 마인드로 ‘i’를 받아들인다면, 수학이 한층 더 재미있어질 거야. 그냥 1, 2, 3 이런 실수들이 전부가 아니라는 걸 깨달을 때쯤, 너도 수학의 깊이를 조금 더 느낄 수 있을 거야.
이 ‘i’가 실생활에서 정말로 쓰인다는 게 믿겨져? 전기공학이나 신호 처리 같은 복잡한 분야에서는 상상 속의 숫자를 쓰지 않으면 진짜 복잡한 문제를 해결할 수가 없거든. 가령, 컴퓨터 그래픽이나 음향 처리 같은 것도 이 친구 없이는 제대로 표현이 안 돼. 그래서 우리가 흔히 접하는 기술, 특히 네 스마트폰 안에도 사실 이 ‘i’가 숨어있다고 보면 돼. 소리나 이미지가 네 눈앞에 펼쳐지는 것, 그 뒤에 상상의 수가 숨어있다니 재밌지 않아?
그리고 이건 좀 더 철학적인 이야기인데, 상상 속의 숫자가 현실에서 중요한 역할을 한다는 걸 알면 뭔가 인생도 비슷하다는 생각이 들어. 우리가 당장 보이지 않는 것들이나 추상적인 개념들도 언젠가 현실에서 큰 영향을 미칠 수 있다는 거 말이야. 'i'가 그 증거 중 하나지.
결국 ‘i’는 우리에게 상상력과 창의력을 요구하는 친구야. 현실에서 직접 눈으로 볼 수 없지만, 그 존재를 인정하고 나면 수학적 사고가 한 단계 성장하는 걸 느낄 수 있을 거야. 그리고 이게 왜 중요한지 알겠지? 상상 속의 개념도 언젠가는 현실을 바꾸는 힘이 된다는 걸 깨달으면, 수학은 더 이상 딱딱한 학문이 아니라 네 삶의 일부가 될 수 있어.
마무리하자면, 수학은 단순히 현실에만 갇힌 학문이 아니야. ‘i’ 같은 상상 속의 수가 등장하는 이유도, 우리의 사고방식을 확장시키기 위해서지. 그러니까, 상상력을 발휘하고 그 안에서 수학이 얼마나 다채로운지 느껴보자고. 오늘은 상상의 친구, ‘i’와 함께 떠나본 여행이었어. 다음번에는 또 다른 수학의 매력을 찾아보자!
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